对数求导法公式对数求导( 三 ) _生活百科

现在分析一下我们是如何将输出域从?转化为??*? 。一阶导数，即梯度?g，是一个从??到??的映射，其导数是一个雅可比矩阵。因此，每一个子函数的导数?g?都由n个从??映射到??的函数组成。可以这样想，就好比是对展开成一个向量的梯度向量的每个元素都求导，从而变成向量中的向量，即为一个矩阵。
要计算黑塞矩阵，需要计算交叉导数，即先对x求导，再对y求导，反过来也可以。求交叉导数的顺序会不会影响结果，换句话说，黑塞矩阵是否对称。在这种情况下，函数f为二次连续可微函数（用符号2表示），施瓦兹定理表明交叉导数是相等的，因此黑塞矩阵是对称的。一些不连续但可微的函数，不满 *** 叉导数等式。
构造函数的黑塞矩阵就相当于求一个标量函数的二阶偏导数。以f(x,y) = x2y3为例，计算结果如下：

文章插图
可以看到交叉导数6xy2实际上是相等的。先对x求导得到关于x的偏导数2xy3，再对y求导得到关于y的偏导数6xy2 。对于x或y的每个一元子函数，对角元素都为f? 。
此类函数的拓展部分将讨论从??映射到??的多元函数的二阶导数的情况，可以将其视为一个二阶雅可比矩阵。这是一个从??到??*?*?的映射，即一个三维张量。与黑塞矩阵相似，为了求出雅可比矩阵的梯度（求二阶微分），要对k x m矩阵的每一个元素微分，得到一个向量矩阵，即为一个张量。虽然不太可能要求面试者进行手动计算，但了解多元函数的高阶导数相当重要。