法国数学家热尔曼证明：如果p是一个奇素数 ， 使得2p＋1也是素数 ， 那么对于p ， 费马大定理的第一种情形成立；勒让德推广了热尔曼的结果 ， 证明：如果p是素数 ， 使4p＋1 ， 8p＋1 ， l0p＋1 ， 14p＋1 ， 16p＋1之一也是素数 ， 则对于p ， 费马大定理的第一种情形成立 。这实际上已经证明了对于所有素数p＜l00 ， 费马大定理的第一种情形成立 。
德国数学家库默尔则从另一个角度分析了费马大定理 ， 他引入理想数和分圆数 ， 开创理想数论 ， 他把素数分为正则素数和非正则素数两部分 。他证明 ， 对于正则素数 ， 费马大定理成立 。以100之内的奇素数为例 ， 共有24个 ， 除37 ， 59 ， 67外都是正则素数 。1844年 ， 库默尔证明了对于它们费马大定理成立 。那么素数中到底有多少正则素数呢？这一问题却长期未得到解决 。1915年 ， 卡利茨证明非正则素数有无穷多 ， 对于非正则素数怎么处理呢？还得回到一个一个证明的老路上来 。1857年库默尔证明对于p＝59 ， 67 ， 费马大定理成立；1892年米里曼诺夫（D．Mirimanoff）证明对p＝37费马大定理成立 。电子计算机出现并广泛应用之后 ， 对非正则素数情形的证明取得了新的进展：1978年证明 ， 对125000以内的非正则素数 ， 费马大定理成立；1987年这一上限推进到1500001992年更推进到1000000 。由于库默尔第一次“成批地”证明了定理的成立 。人们视之为费马大定理证明的一次重大突破 。1857年 ， 他获得巴黎科学院的金质奖章 。
对于第一种情形 ， 进展更快一些 。如1948年 ， 日本的森岛太郎等证明对于P＜57×109 ， 第一种情形成立 。1983年 ， 人们证明了对于当时已知的最大的素数p＝286243－1 ， 第一种情形成立 。1985年 ， 英国的希斯－布朗（R．Heath-Brown）证明：存在无穷个素数p ， 使第一种情形成立 。
前人直接证明费马大定理的努力取得了许多成果 ， 并促进了一些数学分支的发展 ， 但离定理的证明 ， 无疑还有遥远的距离 。怎么办呢？按数学家解决问题的传统 ， 就是要作变换—把问题转化为已知的或易于解决的领域的“新”问题 。
一个转化方向是把问题具体化 ， 就是建立一个可由要证的命题推导出来的新命题（从逻辑的角度看 ， 是要证命题的必要条件） 。一般地 ， 更具体的命题比原命题容易证明 ， 如果证明了这个新命题 ， 则把对原命题的证明推进了一大步 。如果反驳了这个新命题 ， 那就直接反驳了原命题：必要条件不成立的命题不成立 。
具体化的方式取得了一批重要的成果 。1909年 ， 威费里希（A．Wieferich）证明 ， 如果对指数p ， 费马大定理的第一种情形不成立 ， 则p2可以整除2p-1－1 。经过寻找 ， 在3×109以下只有p＝1093和p＝3511满足这一条件 ， 但这两个素数均已直接验证满足费马大定理 。这实际上就证明了 ， 对30亿以内的所有素数 ， 第一种情形都成立 。20世纪80年代人们更证明了费马大定理若有反例 ， 即存在正整数x ， y ， z ， 当n＞2时 ， 使
xn＋yn＝zn
成立 ， 则n＞101800000 。
另一个转化方向是使问题抽象化 ， 就是建立一个可由之推导出要证明的命题的“新”命题（从逻辑的角度看 ， 是要证命题的充分条件） 。一般地说 ， 更抽象的命题更难证明 ， 但是一旦证明了 ， 就能立即推出要证的命题 ， 并且还能得出许多别的结果来 。
抽象化的一个结果就是求解丢番图方程 ， 方程（5）不过是丢番图方程的一个特例 。经过一种代数几何学的转化 ， 人们把丢番图方程的解与代数曲线上的有理点（坐标都是有理数的点）联系起来了 。
对于平面中的一条曲线 ， 人们首先注意到的一个数值不变量是它的次数 ， 即定义这条曲线的方程的次数 。次数为一次、二次的曲线都是有理曲线（在代数几何中 ， 它们与直线同构） ， 它们主要是解析几何的研究对象 。代数几何是从19世纪上半叶关于三次或更高次的平面曲线的研究开始的 。
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